Sức mạnh của các đa thức đại số
Các đa thức đại số là các 'đối tượng xấp xỉ' được ưa chuộng trong toán học vì chúng dễ dàng được đánh giá, đạo hàm và tích phân bằng các thao tác số học đơn giản.
Các hàm dạng:
$$P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$
Định lý xấp xỉ Weierstrass
Định lý này đóng vai trò nền tảng lý thuyết cho phân tích số học bằng cách đảm bảo rằng bất kỳ hàm liên tục nào trên một đoạn đóng, hữu hạn đều có thể được xấp xỉ với độ chính xác mong muốn bất kỳ mức nào.
Giả sử $f$ được định nghĩa và liên tục trên $[a, b]$. Với mỗi $\epsilon > 0$, tồn tại một đa thức $P(x)$ sao cho:
$$|f(x) - P(x)| < \epsilon, \text{ với mọi } x \text{ trong } [a, b]$$
Nội suy so với xấp xỉ cục bộ
Trong khi các đa thức Taylor cực kỳ chính xác tại một điểm cụ thể, chúng thường phân kỳ nhanh chóng khi di chuyển xa khỏi điểm đó (hiệu ứng lỗi xấp xỉ cục bộ). Nội suy hướng đến việc sử dụng các điểm dữ liệu trên toàn bộ khoảng để cung cấp một phù hợp toàn cục thỏa mãn điều kiện Weierstrass.